Bellův test jako „dvojštěrbina pro dva"

Newton věřil, že světlo jsou částice – malé kuličky létající prostorem. Pak přišel Youngův dvojštěrbinový experiment (1801) a ukázal interferenční proužky – důkaz, že světlo je vlna. Celé 19. století se fyzici radovali: světlo jsou vlny šířící se éterem, vesmír je mechanický a předvídatelný.

Jenže pak přišel rok 1905. Einstein zrušil éter (speciální relativita) a paradoxně vrátil světlu částicovou povahu (fotoelektrický jev). Kvantová mechanika šla ještě dál – světlo je vlna i částice zároveň, podle toho, jak se ptáte. To vedlo k rozkolu: Einstein a spol. věřili, že za kvantovou neurčitostí se skrývá hlubší, deterministická realita ("Bůh nehraje v kostky"). Bohr a kodaňská škola byli radikálnější – tvrdili, že realita před měřením vlastně neexistuje, existují jen pravděpodobnosti. Není to podle ní jen naše neznalost; samotná příroda "neví", dokud se nezeptáte.

V roce 1964 přišel John Bell s geniálně jednoduchým testem: pokud má Einstein pravdu a částice mají předem dané vlastnosti ("skryté proměnné"), musí jejich korelace splňovat určité matematické nerovnosti. Pokud má pravdu kvantová mechanika, tyto nerovnosti můžou být porušeny.

Výsledek experimentů? Nerovnosti jsou porušeny. Einstein se mýlil – ale jinak, než všichni čekali. Příroda nefunguje ani klasicky (vše předem určeno), ani čistě náhodně. Místo toho dělá něco fascinujícího: dvě částice sdílejí jednu společnou vlnu, která vytváří korelace silnější, než by jakýkoli klasický systém dokázal.

Okamžitě se samozřejmě objevily divoké interpretace – telepatie, okamžitá komunikace, vědomí ovlivňující realitu. Skutečnost je prozaičtější, ale hlubší: částice na opačných koncích galaxie mohou být "na stejné vlně", aniž by si vyměňovaly jakékoli signály. Místní měření dávají náhodné výsledky, ale když je porovnáte, najdete v nich skrytý vzorec souznění, který klasická fyzika nedokázala vysvětlit.

Poznámka autora: Sám jsem těmto divokým interpretacím podlehl a trochu je ji šířil. Bylo to lákavé: vědomí jako prvotní a fyzikální realita jako odvozená dávají filozoficky smysl. Berkeleyho "esse is percipi" ale neobstojí jako fyzikální konstrukce. Krásné stvoření fyzikálního vesmíru funguje samo o sobě a nepotřebuje k tomu vědomého pozorovatele. Přesto celým srdcem věřím, že vesmír byl stvořený proto, abychom se z něj mohli radovat a učili se ho poznávat a milovat. Ale nic z toho se nezdá být fyzikálně potřebný pohled a z kvantové mechaniky samotné vědomí odvodit dle mého nelze.

Jsem, tedy myslím - Blogosvět.cz

www.blogosvet.cz

Vynálezce mikroprocesoru, který zjistil, že realita je stvořena z vědomí. Zní to jako sci-fi? A přece je to příběh Federica Faggina, muže, který změnil svět dvakrát. První revoluci způsobil, když dal světu první mikroprocesor a dotykové displeje. Druhou, když po mystickém zážitku u jezera Tahoe v prosinci 1990 zcela přehodnotil svůj pohled na realitu. Během této neobyčejné zkušenosti zakusil, že on sám není oddělen od světa, ale obojí je utvářeno stejnou vědomou energií. Faggin, který vyrostl v katolické rodině italského učence překládajícího díla antických filozofů, propojil své technické mistrovství a duchovní vhled do teorie vědomí vesmíru. Společně s fyzikem D'Arianem dnes tvrdí něco, co obrací moderní materialistickou vědu naruby: vědomí není produktem hmoty, ale naopak hmota je projevem vědomí.

Jádro principu

Klasický pohled: předem dané odpovědi a sčítání pravděpodobností. Kvantový pohled: jedna společná „vlna" pro celou dvojici a sčítání amplitud. Bellův test zjišťuje, jak realitu dvou vzdálených výsledků vystihne „kartičkový plán" (klasika), nebo skládání jedné společné vlny (kvantum).

Pozn.: Ve vzorcích používám radiány; ve větách uvádím úhly ve stupních kvůli čitelnosti.

Klasické rukavice vs. kvantové dvojice

Klasické rukavice

Když rozdělíš pár rukavic do dvou krabic a pošleš je na opačné konce světa, v jedné je levá a v druhé pravá. Bylo to rozhodnuto už při balení – ty jen dodatečně zjistíš, která je kde.

Kvantové dvojice

U zvláštních kvantových dvojic, které jsou doslova na stejné vlně, a ne na dvou různých vlnách, nejde vše vysvětlit tak, že by každá polovina měla dopředu dopsaný plán odpovědí pro všechny možné volby měření. Když změříš jednu, u tebe se ukáže konkrétní výsledek; na druhé straně se místní poměry nezmění a nejde tím posílat zprávy. Teprve když dáte záznamy dohromady, vyjde vzorec shod/neshod silnější, než by dovolil jakýkoli předem daný plán. Ale to není magie, jen prostá matematika.

Bellovy nerovnosti

Bell ukázal, že všechny předem dané plány mají strop: víc shod napříč volbami prostě nedají. Pokusy ale ukazují, že kvantově provázané dvojice na stejné vlně dávají shod víc – přitom bez dálkového ovládání místních výsledků.

Nejde o „tajemnou komunikaci na dálku", ale o neklasický vzorec shod. Místní poměry na žádné straně se volbou druhé strany nemění; zvláštnost je až ve společném vyhodnocení párů. A u kvantových vln pak největší rozdíl v souladu oproti předem domluveným odpovědím dostaneš pro čtyři vhodně zvolené směry (např. 0°, 45° proti 22,5° a 67,5°).

Dvojštěrbina: interference jedné částice

U dvojštěrbiny se amplitudy ze dvou drah sečtou a teprve pak se umocní na pravděpodobnost. Vznikne proužkový obrazec:

?math-inline P(x) \propto \cos^2\phi(x). ?math-inline

Když si vynutíš informaci „kterou štěrbinou šla" (např. detektorem u štěrbiny nebo polarizátory, které značkují dráhu), proužky mizí: sčítají se už jen pravděpodobnosti. Kvantová guma (quantum eraser) umí interferenci obnovit, když informaci o dráze vymažeš – prosté pravidlo: když necháš vlny skládat, obrazec se ukáže.

Kvantová guma: žádná změna minulosti, jen další variace na vlnové téma

Často se tvrdí, že „mění minulost". Nemění. Vezmeme propletený pár. „Signální" foton projde dvojštěrbinou a dráhy označíme polarizací ?math-inline|H\rangle/|V\rangle?math-inline (vodorovná/svislá), tím proužky u jednotlivých detekcí zaniknou. Když ale doprovodný foton změříme v diagonální bázi ?math-inline|\pm\rangle?math-inline (45°), v koincidencích se interference obnoví: podmnožina „signál | doprovodný = ?math-inline+?math-inline " dává proužky ?math-inline\propto \cos^2\phi(x)?math-inline a „signál | doprovodný = ?math-inline-?math-inline " dává komplementární proužky ?math-inline\propto \sin^2\phi(x)?math-inline .

Klíč: Neměníme minulost – signální foton už dopadl. Jen třídíme již naměřená data podle výsledku druhého fotonu. Sečtené dohromady se proužky vyruší, proto každý detektor sám žádné proužky nevidí. Poučení: vzor je v korelacích.

Bell: totéž, ale ve vzoru dvou detektorů

U propletené dvojice fotonů každý detektor sám o sobě dává 50/50, nezávisle na nastavení druhého:

?math-inline P(A=+1\mid a,b)=P(A=+1\mid a)=\tfrac12. ?math-inline

„Proužky" neuvidíš lokálně – objeví se až v koincidencích. Korelace počítáme z četností:?math-inline E(a,b)=\langle AB\rangle=\frac{N_{++}+N_{--}-N_{+-}-N_{-+}}{N_{++}+N_{--}+N_{+-}+N_{-+}}. ?math-inline $

Pro maximálně propletené fotony s lineární polarizací:

?math-inline E(\Delta)=\cos(2\Delta)\quad\text{nebo}\quad E(\Delta)=-\cos(2\Delta),\qquad \Delta=a-b. ?math-inline

To je „interferenční křivka" ve světě korelací. Kdyby platil lokální „kartičkový" model, vyšel by trojúhelník (po úsecích lineární závislost):

?math-inline E_{\text{LHV}}(\Delta)=1-\frac{4|\Delta|}{\pi}\quad \text{pro } 0\le \Delta\le \frac{\pi}{2},\ \text{perioda } \pi. ?math-inline

Rozdíl tedy není „síla filtru", ale tvar: kosinus vs. trojúhelník.

Proč vyjde ?math-inline2\sqrt{2}?math-inline , a ne jen 2

CHSH kombinace čtyř korelací:

?math-inline S=E(a,b)+E(a,b')+E(a',b)-E(a',b'). ?math-inline

Při volbě ?math-inlinea=0^\circ?math-inline , ?math-inlinea'=45^\circ?math-inline , ?math-inlineb=22{,}5^\circ?math-inline , ?math-inlineb'=-22{,}5^\circ?math-inline platí

?math-inline S=3E(\Delta_1)-E(3\Delta_1),\qquad \Delta_1=22{,}5^\circ=\pi/8. ?math-inline

Lokální plán: pro ?math-inline\Delta_1=\pi/8?math-inline vyjde ?math-inlineS=2?math-inline . Obecně ?math-inline|S|\le 2?math-inline . Kvantum: ?math-inlineS=3\cos(\pi/4)-\cos(3\pi/4)=2\sqrt{2}?math-inline (Tsirelsonova mez). „Kouzlo" je čistě geometrie křivky: zakřivený kosinus umí dát v některých případech (sdílená vlna + neslučitelné projekce + Bornovo pravidlo) větší součet než lineární obálka, která odpovídá našemu přímo pozorovanému makrosvětu.

Co jsou „neslučitelná" měření a proč jsou nutná

Na každé straně volíme dva směry, které nejdou na tomtéž fotonu změřit zároveň. Kdyby šlo všem čtyřem volbám přiřadit jednu společnou tabulku předem daných odpovědí, nutně by platilo ?math-inline|S|\le 2?math-inline . V kvantu taková tabulka neexistuje, a proto může ?math-inlineS?math-inline přesáhnout 2.

Proč to není „strašidelná dálková akce"

Ať nastavíš úhly jakkoli, každý detektor sám vidí přesně očekávaných 50/50 výsledků. Zprávu tím poslat nelze – mění se jen korelace, ne místní statistika. Stejně jako u dvojštěrbinové „gumy": vzor se objeví jen v koincidencích.

Častá mylná interpretace: příklad z časopisu Vesmír

Bohužel se rozšířila mylná interpretace Bellova testu. Dobrým příkladem je článek ve Vesmíru (1998/7) „Kvantové hlavolamy V", který obsahuje hned několik zavádějících tvrzení.

Problém 1: "Foton se dozví a vlnová funkce kolabuje v celém prostoru"

Co je na tom špatně:

"Foton se dozví": Ne, druhý foton se nic "nedozví". Žádná informace mezi fotony neputuje. Místní statistiky druhého fotonu zůstávají přesně stejné (50/50) bez ohledu na to, co naměříte u prvního. * "Vlnová funkce se změní naráz v celém prostoru" - Vlnová funkce není fyzická věc létající prostorem, ale matematický popis našich znalostí o korelacích. Měření prvního fotonu nezmění nic měřitelného u druhého - změní se jen podmíněná předpověď v korelacích; místní poměry zůstávají stejné (50/50). * Chybí podstatné: Text nevysvětluje, že druhá strana nepozná, zda už jste měřili. Změna je vidět pouze v korelacích při porovnání záznamů, ne v lokálních měřeních. Proto nelze poslat zprávu.

Správnější vysvětlení: Měřením jednoho fotonu získáme pouze jeden výsledek (+1 nebo -1). Druhý foton se chová úplně stejně jako předtím - jeho lokální statistiky zůstávají 50/50. Teprve když změříme oba fotony a porovnáme výsledky, objeví se interference v korelacích - ukáže se v nich vlnový průběh (kosinus), ne klasicky očekávaná lineární závislost. Žádný foton se nic "nedozví", vlnová povaha se projeví až při společném vyhodnocení.

Problém 2: Analogie s televizí a porodností

Proč je to zavádějící:

Není to vůbec Bellův test: Bellův test je pár po páru, s náhodnou volbou pro každý pár. Tady je jedna volba na den a součty mnoha nesouvisejících událostí. Chybí párování Praha–Olomouc po jednotlivých pokusech. * Nesprávný závěr: tvrzení, že „pravděpodobnost v Praze závisí na programu v Olomouci", by znamenalo možnost posílat zprávy přepínáním programu. To je špatně. V Belle platí: místní poměry se nemění, mění se jen společný vzor shod/neshod v párových datech. * Poznámka pod čarou to sice mírní, ale v hlavním textu vzniká dojem „dálkového ovládání". Ten je chybný.

Mikroskopický pohled: „dvojštěrbina rozdělená mezi dva detektory"

Pro stav ?math-inline|\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|HH\rangle+|VV\rangle)?math-inline je amplituda výsledku „++" při měření v úhlech ?math-inlinea,b?math-inline :

?math-inlineA_{++}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos a\cos b+\sin a\sin b)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(a-b).?math-inline

Pravděpodobnost je ?math-inline\tfrac12\cos^2(a-b)?math-inline . Analogicky pro „--". Součet dvou „cest" (HH a VV) interferuje a dává ?math-inline\cos(2\Delta)?math-inline v korelaci ?math-inlineE?math-inline . Interference se neukáže v prostoru, ale ve vzoru korelací.

Širší kontext

Existují hypotetické korelace bez možnosti posílat zprávy, které by v CHSH daly až ?math-inlineS=4?math-inline (Popescu–Rohrlichova krabička, PR‑box). CHSH je Clauser–Horne–Shimony–Holt formalizace Bellova testu, která je formálně ještě dokonalejší.) Každý výstup by byl sám 50/50 (ani zde zpráva nejde přímo poslat), ale korelace by byly ještě silnější než kvantové. Příroda takové korelace ale nedovoluje – drží se Tsirelsonovy meze ?math-inline2\sqrt{2}?math-inline antová pravidla samotná jsou zcela v souladu s očekávatelnými přírodními zákony, i když mohou být trochu matoucí: bez zpráv, ale ani ne „maximálně" nelokální.

Proč to není paradox, ale maximum možného

Bellovy korelace nejsou paradox, ale maximum, které ještě respektuje nemožnost přenosu „informace zdarma": informační kauzalita říká: když Alice pošle Bobovi ?math-inlinem?math-inline klasických bitů, Bob z toho nemůže získat víc než ?math-inlinem?math-inline bitů náhodně přístupné informace – i kdyby sdíleli libovolné předem domluvené zdroje. Kvantová mechanika tento princip dodržuje, a má totožnou ostrou mez ?math-inlineS\le 2\sqrt{2}?math-inline . Hypotetické „superkvantové" korelace (PR‑box) by ji porušily a byly by rozporu s přírodními zákony, které jsme zatím poznali. Příroda tak vysoko ale nejde a o žádné strašidelné porušení přírodních zákonů v případě Bellova testu nejde.

Tahák: Co si zapamatovat

Klíč Bellova testu je sdílená vlna + neslučitelné projekce + Bornovo pravidlo. Z toho nutně vyleze kosinusová korelace E(Δ), lokálně ale výsledky nemění a jsoupořád 50/50, a v CHSH je maximum: ?math-inline|S|\le 2\sqrt{2}\approx 2{,}83?math-inline , bez jakékoliv strašidelné akce na dálku.

Hlavní myšlenka: Bellův test je „dvojštěrbina pro dva": příroda skládá vlny možností, ne jen pravděpodobnosti. Propletení a neslučitelná měření dávají kosinusový tvar korelace, který u vybraných úhlů sčítá na ?math-inline2\sqrt{2}?math-inline , zatímco každý klasický „kartičkový" plán se zastaví na 2. Stejně jako u dvojštěrbiny s „gumou": když dovolíš vlnám koherentně se skládat, obrazec vyskočí – tady ne na stínítku, ale v číslech ?math-inlineE(\Delta)?math-inline .

• Klasický limit: ?math-inline|S|\le 2?math-inline

• Kvantový limit: ?math-inline|S|\le 2\sqrt{2}\approx 2{,}83?math-inline

• Informační limit: ?math-inline|S|\le 2\sqrt{2}?math-inline

• Každý detektor sám: vždy 50/50, samotné měřitelné výsledky jsou shodné pro klasické jevy i pro ty kvantové

Podstata: Interference se neprojeví v prostoru, ale ve vzoru korelací. Žádná komunikace, žádná magie – jen dvě různé částice, které jsou na stejné vlně. Nejde o dvě oddělené vlny, ale o jednu společnou „vlnu" pro celou dvojici; právě tohle vlnové souznění dělá ten nezvykle silný soulad. Místně se nic nemění a žádné zprávy na dálku nadsvětelnou rychlostí tím opravdu posílat nejdou. Ani to nesouvisí s naším vědomím či vnímáním.